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當前全國高考命題涉及教育，經驗構思巧妙，可體現命題的理念以及原則，在本研究中深入分析高考數學試題，能基于2015年至2020年高考數學卷概率統計試題深入闡述命題特點，考查要點提出幾點數學教學建議，把握高考的命題，深入領會高考命題精神，進而能為高三學生數學復習提高針對性，減少復習的盲目性。

一、高考數學概率與統計試題

（一）命題背景

對高考數學卷中概率與統計的內容，考查學生數學應用能力以及建模能力，同時這也是數學思想考查的主要載體，當前在高考全國卷中“概率與統計”這一試題涉及學生的日常生活、學習。比如，在概率內容考查上，一般是以比賽得分、質量抽檢、抽簽選號的方式命題，進而分析不同隨機事件發生概率。統計內容是基于方案決策、數據預測、利潤獲取以及成本控制等多個方面進行命題考查，包括利用樣本數據進行總體特征分析，通過數據均值方差判斷問題。在2018年高考數學卷中著重對學生文化知識進行考查，以古希臘波拉克底直角三角形外接半圓形為例進行命題，考查學生對幾何概念的理解；在2018年全國二卷高考數學理科卷中利用哥德巴赫猜想考查學生對古典概型這一知識的認識。

（二）知識點羅列

近幾年在數學高考卷中對統計與概率采用抽象法考查知識點，一般為分層抽樣應用統計圖表進行相關性分析，其涉及回歸思想、隨機事件、包括獨立事件、互斥事件以及概率離散變量、獨立重復檢驗、正態分布、方差等。首先，在高考試卷中“統計與概率”這一內容呈現交互性命題，概率統計知識點相對緊密，采取統計圖表作為主要考查方式，要求學生根據圖中的數據運用頻率估計思想，以考查對對立事件概率、古典概型以及互斥事件概率公式應用。其次，對生產銷售中的利潤問題分析，一般“概率與統計”是與分段函數或函數最低值問題結合，這也是近年來高考數學考查的熱點。

（三）對學生能力的考查

根據新課程標準，提出在培養學生數學核心素養過程中涉及抽象運算、數學建模、邏輯思維直觀分析等，其中數學分析獲取研究對象數據，利用數學方法收集整理數據，進行數據推斷，逐漸使學生形成良好的學科核心素養。在開展概率統計這一內容教學時，要求學生能利用統計與概率思想實現據處理分析，為企業制定決策依據，充分培養學生理性思維。當前在數學高考卷中，對概率統計這一內容考查學生六大能力：第一淡化解題技巧幫助學生實現通法解題；第二，減少無限深度這一要求，提高運算思路的分析能力；第三，逐漸形成科學合理的隨機觀念，能認識一些隨機現象；第四，培養閱讀、篩選信息能力；第五，培養學生通過實際問題，解決估算判斷；第六，重視整合分類，劃歸轉化等思想在具體解題中的應用。

（四）命題的規律分析

第一，在高考數學客觀題命題上。歸納2014年至2015年期間的高考題，在概率知識考查上主要體現于判斷題中，歷年高考題就會涉及古典概型這一命題。2015年對統計知識的考查主要體現于客觀題中，且要求學生能認識統計圖表，采取該方法進行考查。在近年來，在概率內容方面幾何概型也成了考查熱點，尤其在2017年2018年中，對這一類題考查題數較多，具體涉及線段和面積模型等。此外，正態分布、特征抽樣、樣本數據分析等題型隔年交替考查，要求學生了解統計與概率的公式、概念運用。第二，從解答題的命題規律來看，在2013年之前高考數學卷考查核心事件的概率，注重邏輯推理能力的考查，強調解答排列組合問題技巧，對合情推理和應用意識的考查內容較少。自2014年后在高考數學卷中增加了頻率分布以及直方圖內容考查，要求學生利用圖表數據，通過頻率估計概率的方法解決實際問題，在2015年之后增加散點圖、折線圖等內容考查，重點要求學生能熟練繪制頻率分布直方圖、莖葉圖，能聯系實際解決數學問題，針對一些數學問題進行決策判斷；2017年高考數學卷學生獨立性檢驗問題，2018年開始考查正態分布，在高考數學命題中對正態分布例題特點鮮明，近幾年對這一例題的考查逐漸由簡單規則應用向理解原理、回歸運算滲透，整體內容在高考數學卷近年解答題的命題中煥然一新，但近年來高考數學中的中位數、標準差以及均值等概念仍是考查的熱點。利用頻率估計概率和利用樣本估計總體特征是數學問題解決的核心思想。

二、概率與統計的試題分類分析

為能把握近年來高考數學卷的命題方向，本研究針對近幾年高考試卷關于概率統計的內容進行分類。

（一）統計

第一，抽樣。為能使學生結合實際問題，在統計內容教學中要求學生利用多種方法獲取數據，能把握數據所隱藏的信息，常使用的方法包括分層抽樣法、隨機抽樣法和系統抽樣法。近年來，在高考數學卷中分層抽樣法是主要的抽樣方法考查對象。2018年高考數學全國卷中，一卷與三卷均設計這一題型。第二，統計圖表。統計圖表相對具有一定的實用性以及直觀性，根據新課程標準指出，要求學生能對所給出的數據進行分析，選擇合適圖表表達數據，根據樣本數據描述相應的數字特征，利用樣本數據來估計總體發展規律，進而解決實際問題。在高考數學中針對統計內容的考查一般采取的是統計圖表的方式，它能從多層次，多角度命題考查學生用途識圖和作圖能力。比如簡單視圖應用是近年來高考全國卷主要涉及日常生活生產的熱點和涉及貼近生活且具有較強可讀性的統計圖表。2018年在全國高考數學卷中提出“關于新農村建設農民經濟收入變化統計圖表-餅狀圖”，2017年全國三卷中利用旅游作為命題背景繪制折線統計圖，這些題型均是要求學生能通過樣本數據特征估計總體。當前利用數據進行推斷是社會普遍采取的思維模式，利用統計學原理實現樣本總體特征估計是數學問題解決的核心思想，當前高考數學中經常會涉及這一類題型，重點考查學生熟練繪制頻率分布直方圖以及莖葉圖，能結合已知的樣本數據提取重要信息，具體包括標準差、方差、均數等，考查學生對總體評價解釋的應用能力。比如在2018年高考文科全國一卷中堅持以德樹人作為教學導向，通過對比采用節水龍頭之后用水量變化，能逐漸培養學生保護水資源的意識。在這一例題中共涉及三個問題，第1題考查學生熟練繪制頻率分布直方圖和分布表的能力。在第2題中要求學生利用樣本數據來估計總體，進而熟練掌握古典概型的實際應用，能培養學生的計算能力、估算能力。第3題通過使用節水器前后用水量變化分析，考查學生熟練掌握頻數分布表。當前在工農業和經濟生活中，綜合應用統計圖表具有廣泛應用，成本控制質量控制、風險控制是其經常需要解決的問題，而這些問題受隨機因素以及不確定變量因素影響，因此需構建隨機模型進行數據設計整理，能利用統計與概率這一內容做出正確決策，高考命題一般是以問題作為背景，通過統計圖表、作文命題載體，考查學生對隨機變量分布列，期望值，計算頻率概率等內容的考查，進而提升數據分析處理能力和建模能力，在2016年全國一卷中，問題背景為實際生產成本控制問題，重點考查柱狀圖的認識，在第1問中考查學生利用柱狀圖以及頻率估計概率思想求解分布列，在計算概率時需要運用分類討論這一思想，將實際問題轉為獨立事件或互斥事件進行解決。第2問題是基于第1問前提下，考查學生如何進行互斥事件、概率求解。第3問以期望值作為決策依據，確定企業購買量。在上述例題中充分體現了近年來對學生數學解題能力考查的變化。第三，變量相關性，2017年高考數學全國卷的考試大綱要求掌握統計案例以及變量相關性問題，能繪制散點圖，利用已知數據通過散點圖了解變量之間的相關性，進而深刻體會獨立性檢驗、最小二乘法以及回歸分析等重要思想的應用。結合回歸方程系數求解問題，利用統計法解決實際生活中面臨的問題，學生在數學學習中不能對回歸方程公式或獨立性檢驗公式死記硬背，要求利用已知的公式來推斷，判斷預測結果，進一步考查統計思想在具體問題中的應用。

（二）概率部分

第一，隨機事件，2015年高考文科卷中有這樣一道例題，甲乙丙三人比賽，其中每局比賽是由兩人完成的，另外一人為裁判，在每局比賽結束之后負的一方為下一局裁判，假設雙方比賽的概率為1:2，并且最終比賽結果屬于相互獨立事件，已知在第1局比賽中甲為裁判。第1問求解在第4局甲作為裁判的概率。第2問前4局比賽中乙為裁判的概率。首先這一例題主要考查學生對于互斥事件、相互獨立事件、對立事件等概念的認識，重點培養學生邏輯思維能力。已知第1局甲為裁判，進而可推斷在第4局中甲仍然為裁判，甲在第2局勝出，在第3局失敗，可推斷兩者為相互獨立事件，通過概率乘法公式進行問題求解。在第2問中重點考查學生對包括劃歸思想，轉化思想，分類討論思想等數學思想的具體應用，在前4局比賽中求解乙為一次裁判，可分三種情況進行討論，需要注意除事件關系運算外，近年來在高考數學卷中對隨機事件和概率部分、幾何概型、古典概型和條件概率等內容的考查增多。第二，離散型隨機變量。在概率統計這一內容中，近年高考數學重點考查學生對方差、均值的知識，能利用均值反應變量隨機水平，利用方差表示多個變量的隨機分散程度，掌握這些概念也是在實際問題中求解的關鍵。在高考數學卷中，對分布列均值方差采取兩種考查方式。1.通過隨機事件概率或公式進行分布列求，解之后求解期望值和方差；2.利用統計圖表考查學生對圖表的認識，通過均值、方差、分布列判斷實際問題，這也是近年來新課標解答題考查熱點。第三，正態分布。結合新課程標準要求學生利用誤差模型能了解正態分布隨機變量的具體應用，通過實例繪制頻率分布直方圖，能了解均值、正態分布的相關概念，通過實際案例，借助頻率分布直方圖了解重要的符號和圖像的意義。2017年全國高考卷中首次考查學生對正態分布的認知，且由規則運用向原理理解進行滲透，2017年高考數學卷考查學生正態分布內容，要求學生能了解一些數學符號和圖像。

三、高考數學教學建議

第一，做好學生的心理疏導。在不同生活和學習環境下，數學焦慮是指阻礙學生解決數學問題和操作的緊張不良情緒。盡管概率與統計的例題在高考數學卷中題型難度不大，但這類型例題含有較多信息，很容易導致學生產生不良情緒。首先，研究表明學生不良情緒是與其日常呈現呈負相關性，因此在概率與統計這一內容教學時應當及時梳理學生不良情緒，培養學生健康和積極的心態。其次，要重視數學思想以及相關概念的教學。綜合近年來高考數學概率試題集，其內容較為豐富，命題靈活，即便難度較低的試題，如果沒有掌握題意認識的概念，在解題時也會產生很多錯誤。數學思想的應用在數學教學中是十分重要的，教師在開展數學教學時，要求學生逐漸形成學習觀念，利用隨機變量進行問題解決，能掌握樣本估計總體、頻率估計概率等多種方法，通過學習一些經典例題了解回歸思想、獨立性檢驗等思想的具體運用，能準確區別思維差異、思維理性，掌握分類討論思想、劃歸思想、轉化思想等在解決實際問題中的應用。第二，重視高考例題的研究。歷年的高考數學試題是數學教學的重要素材，應當以一些經典例題為素材深入領會命題意圖，規律命題，背景，能提升高三學生復習有效性，建議教師在開展高三數學復習時，應當以歷年經典高考試題為例實現針對性復習。近年來，根據高考數學試題知識能力考查，重點考查學生對分布列、離散型隨機變量、概率組合、方差、均值等理論知識進行考查，考查學生數學應用技能以及基礎知識的掌握度，培養學生理解能力、運算能力。針對概率統計在高考試題中設計難度不高，因此在復習過程中應當注重答題規范以及思維完整性。同時從試題形式上來看，以實際問題為命題背景，利用統計與概率這一內容作為命題載體，或將流程圖進行整合，主要考查學生分析解決問題的能力。在高考數學復習過程中，要求學生能正確認識不同的數學模型特點，包括互斥事件、獨立事件、對立事件，模擬一些類似題型進行練習，在解題時及時糾正錯誤，可通過反思數學概念、本質掌握一些學習要點。除此之外，在教學時注重培養學生通過文字捕捉信息，能將漢字轉為數學語言，當遇到問題情景復雜的試題時要求讀懂題意，只有正確理解題意才能抽象概括概率統計模型。

四、結語

總之，本研究深入分析高考數學試題，以2015年至2020年高考數學全國卷中概率和統計試題作為研究對象，分析命題特點、考查要點，提出幾點數學教學建議。同時以高中數學概率與統計內容為例，分析了高考數據分析、采集及管理的問題。

作者:邢迪 單位:山東省淄博市實驗中學